Módulo 1: Análisis de inversiones
U.D. 3: Obligaciones y bonos. Empréstitos.
Sección: 2

3.02 EMPRÉSTITOS

3.02.01 Concepto

Un empréstito es una emisión de obligaciones y constituye una de las formas de financiación para la empresa, si bien es verdad, que su uso se reserva para las grandes empresas, fundamentalmente motivado por la confianza que el inversor tiene en ellas.

3.02.02 Tipos de empréstitos

Para darnos una idea genérica de los tipos de empréstitos, veamos el siguiente diagrama:

Empréstitos
Sin cancelación escalonada (sin sorteos)		Con cancelación escalonada (con sorteos)
Formados por obligaciones de tipo americano	Formados por obligaciones que representan préstamos simples	Formados por obligaciones de tipo americano	Formados por obligaciones que representan préstamos simples
Interés constante Interés variable	Interés constante Interés variable Términos amortizativos constantes o variables	Interés constante Interés variable Términos amortizativos constantes o variables	Interés constante Interés variable Términos amortizativos constantes o variables

Todas ellas, pueden incluir una serie de características comerciales como son: primas de reembolso, lotes y primas de emisión.

En este tratado se estudiarán los empréstitos con cancelación escalonada, es decir, con sorteos periódicos de amortización de títulos, con tipo de interés constante a lo largo de la vida del empréstito y términos amortizativos constantes, haciendo una breve referencia al caso anterior, pero con términos amortizativos variables. No es nuestro objetivo el estudio en profundidad de los empréstitos. No obstante, con los conocimientos adquiridos en esta unidad, estaríamos en predisposición para poder entender el resto de tipos de empréstitos.

3.02.03 Empréstitos formados por obligaciones tipo americano con cancelación escalonada

3.02.03.01 Planteamiento general

Se trata de empréstitos formados por obligaciones de tipo americano y con realización de sorteos periódicos, en los cuales se amortizan un determinado número de títulos.

Las variables que intervienen en el planteamiento son:

• Ns : número de títulos pendientes de amortizar al inicio del período "s".
• Ms : número de títulos amortizados al final del período "s".
• as : término amortizativo o cantidad pagada a los obligacionistas al final del período "s".
• is : tipo de interés en el período "s".
• Cs : capital pendiente de devolver a los obligacionistas al final del período "s", una vez pagado el término amortizativo as.
• Vo : valor nominal de la obligación.

El planteamiento es que al final de cada período se pagan los intereses del mismo a todas las obligaciones vivas al inicio de dicho período y se amortizan un número determinado de ellas, es decir se reembolsa a los obligacionistas el nominal de dichos títulos amortizados. Las obligaciones amortizadas se obtienen mediante sorteo en la forma expuesta en el artículo 308 de la Ley de Sociedades Anónimas expuesto en el apartado 3.01.01.

Esquemáticamente podríamos representarlo así:

$$Intereses \ldots
V_{0}
\centerdot N_{1}
\centerdot i_{1\ldots\ldots\ldots }
V_{0}
\centerdot N_{2}
\centerdot i_{2}
\ldots\ldots\ldots
V_{0}
\centerdot N_{n}
\centerdot i_{n}$$

+

$$amortización\ldots M_{1}
\centerdot V_{0}
\ldots\ldots\ldots M_{2}
\centerdot V_{0}
\ldots\ldots\ldots M_{m}
\centerdot V_{0}
$$

$$términos\ amortizativos\underset{a1}{

{V_{0}\centerdot N_{1}\centerdot i_{1}+M_{1}\centerdot V_{0}}}\ldots\ldots\ldots\ldots\underset{a2}{ V_{0}\centerdot N_{2}\centerdot i_{2}+M_{2}
\centerdot V_{0}}
\ldots\ldots\ldots\ldots\underset{an}{ V_{0}\centerdot N_{n}\centerdot i_{n}M_{m}
\centerdot V_{0}}$$

Es evidente que el número de obligaciones vivas al inicio del segundo período, serán las que eran vivas al final del primer período menos la que hayamos amortizado, es decir, se verificará:

N1 M1 = N2 _______________________ N1 N2 = M1

y en general:

Ns Ns+1 = Ms

También es evidente que la suma de todas las obligaciones amortizadas, deberá coincidir con el número de obligaciones vivas al inicio del empréstito, por tanto, se verificará:

M1 + M2 + ........... + Mn = N1

o bien en forma condensada:

$$\underset{s=1}{\overset{n}{\sum}}
M_{s}
=N_{1}$$

Observemos que en el planteamiento general, los tipos de interés de los períodos o réditos periodales y los términos amortizativos, son variables a lo largo de la vida del empréstito.

El planteamiento general de los conceptos básicos nos conduce a las siguientes expresiones:

A) Equivalencia financiera en el origen (to):

$$V_{0}
\centerdot N_{1}
=\frac{a_{1}}{\left(1+i_{1}\right)}
+\frac{a_{2}}{\left(1+i_{1}\right)\centerdot\left(1+i_{2}\right)}
+\ldots\ldots+\frac{a_{n}}{\left(1+i_{1}\right)\centerdot\ldots\ldots\centerdot\left(1+i_{n}\right)}
=$$

$$a_{1}
\centerdot\left(1+i_{1}\right)
^{-1}
+a_{2}
\centerdot
\left(1+i_{1}\right)
^{-1}
\centerdot
\left(1+i_{2}\right)
^{-1}
+\ldots\ldots+a_{n}
\centerdot\left(1+i_{1}\right)
^{-1}
\centerdot\ldots\ldots\centerdot\left(1+i_{n}\right)
^{-1}
$$

$$=\underset{s=1}{\overset{n}{\sum}}a_{s}\centerdot\underset{r=1}{\overset{s}{\prod}}
\left(1+i_{r}\right)
^{-1}$$

Es decir, que el montante del empréstito en el origen, debe ser igual a la actualización en el origen de todos los términos amortizativos.

B) El capital pendiente de devolver a los obligacionistas al final del período "s", una vez pagado el término amortizativo "as", conocido como reserva matemática, es:

 

$$C_{s}
=\frac{a_{s}+1}{\left(1+i_{s+1}\right)}
+\frac{a_{s}+2}{\left(1+i_{s+1}\right)\centerdot\left(1+i_{s+2}\right)}
+\ldots\ldots+\frac{a_{n}}{\left(1+i_{s+1}\right)\centerdot\ldots\ldots\centerdot\left(1+i_{n}\right)}
=$$

$$=a_{s+1}
\centerdot
\left(1+i_{s+1}\right)
^{-1}
+a_{s+2}
\centerdot\left(1+i_{s+1}\right)
^{-1}
\centerdot
\left(1+i_{s+2}\right)
^{-1}
+\ldots\ldots+$$

$$=a_{n}
\centerdot
\left(1+i_{s+1}\right)
^{-1}
\centerdot\ldots\ldots\centerdot\left(1+i_{n}\right)
^{-1}
=$$

$$=\underset{r=s+1}{\overset{n}{\sum}}a_{r}\centerdot\underset{j=s+1}{\overset{r}{\prod}}
\left(1+i_{j}\right)
^{-1}$$

Como vemos, el capital pendiente de devolución al final del período "s", una vez pagado el término amortizativo "as", es la actualización al final del período "s" del resto de términos amortizativos hasta el final de la vida del empréstito.

C) Término amortizativo:

$$a_{s}
=\underbrace{V_{0}\centerdot N_{s}\centerdot i_{s}}
+\underbrace{M_{s}\centerdot V_{0}}$$

intereses del período "s" / obligaciones amortizadas del período"s"

3.02.03.02 Caso de réditos periodales constantes y términos amortizativos constantes

En este caso se verificará:

1) i1 = i2 = i3 = ..... = in = i

2) a1 = a2 = a3 = ..... = an = a

Las expresiones de la equivalencia financiera, reserva matemática y término amortizativo serán:

A) Equivalencia financiera en el origen:

$$V_{0}\centerdot N_{1}
=\frac{a}{1+i}
+\frac{a}{\left(1+i\right)^{2}}
+\ldots\ldots+\frac{a}{\left(1+i\right)^{n}}=$$

$$=a\centerdot\left[\frac{1}{1+i}+\frac{1}{^{^{\left(1+i\right)^{2}}}}+\ldots\ldots+\frac{1}{\left(1+i\right)^{n}}\right]
=$$

$$a\centerdot\left[\frac{1-\frac{1}{\left(1+i\right){}^{\left(n-s\right)}}}{i}\right]
=a\centerdot a
_{n}\neg
_{i}$$

De donde se deduce la cuantía del término amortizativo, a, puesto que Vo, N1, i, son conocidos. Su expresión será:

$$a= \frac{V_{0\centerdot}N_{1}}{a_{n\urcorner i}}$$

B) Reserva matemática:

$$C_{s}
=\frac{a}{1+i}
+\frac{a}{\left(1+i\right)^{2}}
+\ldots\ldots+\frac{a}{\left(1+i\right)^{n-s}}
=a\centerdot\left[\frac{1}{1+i}+\frac{1}{^{^{\left(1+i\right)^{2}}}}+\ldots\ldots+\frac{1}{\left(1+i\right)^{n-s}}\right]
=$$

$$a\centerdot\left[\frac{1-\frac{1}{\left(1+i\right){}^{\left(n-s\right)}}}{i}\right]
=a\centerdot a
_{n-s}\neg
_{i}$$

$$= \frac{V_{0\centerdot}N_{1}}{a}\centerdot
a_{n-s\urcorner i}
$$

C) Término amortizativo:

$$a_{s}
=a=\frac{V_{0\centerdot}\centerdot N_{1}}{an\urcorner i}
para\ s=1,2,\ldots\ldots,n$$

De la constancia del término amortizativo, podemos hallar el número de obligaciones a amortizar al final de cada período, con sólo restar estas dos expresiones miembro a miembro:

$$a_{s}=a=V_{0}N_{s}\centerdot i+V_{0}.M_{s}$$

(-)

$$a_{s+1}=a=V_{0}N_{s}\centerdot i+V_{0}.M_{s+1}$$

---

$$0=V_{0} \centerdot i\centerdot\left(\underset{M_{S}}{N_{s}-N_{s+1}}\right) +V_{0} \centerdot M_{s} -V_{0\centerdot} M_{s+1}$$

Vo.Ms+1=Vo.Ms .(1+i)

$$M_{s+1}
=M_{s}
\centerdot
\left(1+i\right)
\Longrightarrow
M_{s+1}
=M_{1}
\centerdot
\left(1+i\right)$$

De forma que el número de obligaciones amortizadas al final de cada período, sigue una serie geométrica de razón "(1 + i)" y cuyo primer término, "M1", lo obtendríamos de la expresión del término amortizativo para el primer período:

$$a=V
_{0}
\centerdot N_{1}
\centerdot i+
V
_{0}
\centerdot M_{1}$$

$$\frac{V_{0}\centerdot N_{1}}{a\ n\urcorner i}
=V
_{0}
\centerdot N_{1}
\centerdot i+
V
_{0}
\centerdot M_{1}
$$
$$M_{1}
=\frac{N_{1}}{an\urcorner i}
=N_{1}
\centerdot i
=N_{1}
\centerdot
\left[\frac{1}{an\urcorner i}-1\right]
=\frac{N_{1}}{S_{n}\urcorner}$$

De esta forma, podremos saber cuantas obligaciones debemos amortizar al final de cada período, el número de obligaciones vivas, el montante de intereses a pagar y el término amortizativo, en definitiva, todo lo necesario para poder construir el cuadro de amortización del empréstito.

NOTA:

$$\frac{1}{an\urcorner i}-1
=\frac{1}{S_{n}\urcorner i}$$esta igualdad se deduce fácilmente:

$$=\frac{i}{\left(1+i\right)^{n}-1}
=\frac{1}{\frac{\left(1+i\right)^{n}-1}{i}}=\frac{1}{S_{n}\urcorner i}$$

$$Donde{S_{n}\urcorner i}\ sería\ la\ suma\ de\ la\ serie\ geométrica: 1+(1+i)+(1+i)^{2}+..........+(1+i)^{n-1}$$

Esto es lógico, si pensamos que el número de obligaciones vivas al inicio del empréstito, es la suma de todas las que amortizaremos y éstas siguen una serie geométrica, como ya hemos visto, y por tanto el número de obligaciones vivas al inicio del empréstito será una suma de una serie geométrica:

$$N_{1}
=\overset{n}{\underset{s=1}{\sum}}
M_{s}
=\overset{n}{\underset{s=1}{\sum}}
M_{1}
\left(1+i\right)
^{^{s-1}}
=M_{1}
\overset{n}{\underset{s=1}{\sum}}
\left(1+i\right)
^{s-1}
=$$$$=M_{1}
\centerdot\left[1+\left(1+i\right)+\left(1+i\right)^{2}+\ldots\ldots+\left(1+i\right)^{n-1}\right]
=$$