Módulo 1: CLASIFICACIÓN Y COMPORTAMIENTO DE LOS COSTES
U.D. 2: La clasificación de los costes
Sección: 2

2.04 MÉTODOS PARA SEPARAR LOS COSTES FIJOS DE LOS VARIABLES

Dada la importancia que representa para la empresa el conocer el comportamiento de sus costes, y que ha sido tratada en la unidad didáctica anterior, en este apartado vamos a profundizar en el comportamiento de los costes, desarrollando unas técnicas que nos permitan evaluar la magnitud de los costes fijos y variables que posee la empresa.

En el apartado anterior, se han expuesto costes cuya definición en fijo o variable entrañaba ciertas dificultades, ya que parte podía considerarse como fija, mientras que otra parte era, evidentemente, variable. A título de recordatorio, podemos mencionar el coste que representa el consumo eléctrico de la empresa: habrá una parte que será coste fijo, es decir, que no dependerá del volumen de la producción, y que corresponderá a la iluminación de la empresa, la electricidad consumida en las oficinas de administración, etc. También habrá una parte importante de este consumo que corresponderá a la maquinaria, y éste sí será un coste variable, pues variará de acuerdo con el volumen de producción que efectúe la empresa.

También el caso de las amortizaciones podía interpretarse como fijo o variable en función del desgaste y la caducidad: si pensamos en el desgaste, éste va ligado al volumen de producción, y un aumento de éste provocará un mayor desgaste y debería provocar una mayor amortización. Por tanto, será un coste variable; pero si pensamos en la caducidad del bien debido al progresivo avance de la tecnología, este factor de coste no tiene nada que ver con el volumen de producción de la empresa, por lo tanto, será un coste fijo.

De todo ello se desprende que, en muchas ocasiones, el definir los costes fijos y variables de la empresa llevará asociado una cierta carga de subjetividad y justificación en cada caso.

Lo que veremos a continuación son unos métodos que no se basarán en el análisis e interpretación de cada uno de los costes de la empresa, sino en tomar el conjunto de costes totales de la empresa para diversos niveles de producción y separar de forma matemática los costes fijos de los variables.

2.04.01 CASO PRÁCTICO MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS

Este método se basa en una serie de datos obtenidos de la realidad, que, en nuestro caso, serán los costes totales de la empresa para cada volumen de producción efectuado, y su representación gráfica en unos ejes coordenados, de forma que a cada valor del eje de abscisas, que representará una determinada variable (en nuestro caso será el volumen de producción), le corresponderá un valor del eje de ordenadas (en nuestro caso, los costes totales de la empresa), que representará la otra variable.

De las pruebas realizadas habremos obtenido una serie de puntos que en el gráfico representarán una nube, en la cual interpolaremos una función que se ajuste lo más posible al comportamiento de esta nube de puntos.

La determinación de esta función constituye el desarrollo matemático de este método. Para plantear las premisas de partida, el método de los mínimos cuadrados se basa en minimizar el error existente entre los valores reales y los valores obtenidos mediante la función de interpolación. Para ello, propone minimizar la función que representa la suma de los cuadrados de tales errores; de ahí su nombre.

El hecho de que minimice la suma de los cuadrados de los errores, es debido a que si simplemente minimizáramos la suma de los errores (hay errores positivos y negativo), al realizar la diferencia entre los valores reales y los hallados mediante la función de interpolación, se produciría una compensación de los errores que nos induciría a una visión equívoca respecto a la bondad del ajuste realizado, es decir, respecto a la eficacia de la función de interpolación encontrada.

En nuestro caso, la función de costes totales de la empresa en relación con el volumen de producción es una recta, de acuerdo con la definición de costes fijos y variables. La ecuación de esta recta sería:

C = CV + CF = CVu x q + CF

Donde el significado de las variables es:

C: costes totales de la empresa.

CV: costes variables totales de la empresa.

CVu: coste variable unitario o sobre la unidad de producto.

CF: costes fijos de la empresa.

q: volumen de producción o cantidad de productos fabricados.

La representación gráfica de la función de costes totales respecto del volumen de producción reproduce la recta aludida:

Será, precisamente, una recta la función que emplearemos como función de interpolación en la nube de puntos originada por los pares de valores representados en los diversos volúmenes de producción de la empresa y los costes asociados a éstos. De esta forma, el punto de corte de esta recta hallada con el eje de ordenadas nos dará el montante de los costes fijos de la empresa; mientras que la pendiente de esta recta nos dará el coste variable unitario, que, multiplicado por la cantidad de unidades fabricadas, nos permitirá obtener el montante global de los costes variables de la empresa.

Además, la obtención de la recta de interpolación nos permitirá conocer el montante de costes variables para cada volumen de producción, ya que los costes fijos, una vez hallados, permanecen constantes frente a las variaciones del volumen de producción de la empresa.

Omitiremos el desarrollo matemático completo que nos permitirá hallar la recta de ajuste, ya que no es el objetivo didáctico, debido a su elevado grado de complejidad. No obstante, presentaremos el planteamiento y daremos la solución, pasando a la realización de un caso práctico que permita interpretar adecuadamente las formulaciones expuestas.

El planteamiento inicial corresponde a la definición de la función que deberemos extremar:

$$\Phi =\sum_{i=1}^{n}\left ( yi-y'i \right )^{2}$$

En donde el significado de las variables es:

Φ: función que representa la suma de los cuadrados de los errores cometidos al aproximar los valores reales, yi, con los valores dados por la curva de ajuste, y'i.

yi: valor real i-ésimo obtenido en el ensayo para el valor i-ésimo de la variable x.

y'i: valor aproximado i-ésimo obtenido por la curva de ajuste para el valor i-ésimo de variable x.

NOTA: el símbolo

$$\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}$$

significa la suma de todas las variables del sumatorio desde i = 1 hasta i = n. En nuestro caso, sería la suma de los cuadrados de los errores cometidos entre cada uno de los valores reales y su correspondiente aproximación, dada por la curva de ajuste, desde el primero de ellos hasta el último. Definimos nuestra curva de ajuste (función de aproximación) mediante la ecuación de una recta, en la cual tendremos como incógnitas o variables la pendiente de la recta, A, y el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas, B.

$$ Y'_{i}=A X_{i} + B $$

donde el significado de las variables es:

Y'i: valor aproximado i-ésimo obtenido al dar el valor i-ésimo a la variable X.

A: variable que representa la pendiente de la recta y que inicialmente desconocemos.

Xi: valor i-ésimo de la variable X.

B: variable que representa el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas y que, inicialmente, corresponde a los costes fijos.

Por lo tanto, Xi será un determinado valor de unidades producidas, en concreto, el valor i-ésimo de nuestras pruebas de determinación de los costes totales para cada volumen de producción determinado.

La variable Y' nos dará los costes totales aproximados para cada volumen de producción.

Sustituimos Y'i en la expresión de Φ y obtenemos:

$$\overset{}{\Phi=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}}
\left(Y_{i}-\left(AX_{i}+B\right)\right)
^{2}$$

Observemos que la función a extremar, Φ, tiene dos variables: A y B, ya que los valores de Xi e Yi son valores concretos, obtenidos en los ensayos realizados al medir para un determinado volumen de producción, Xi, los costes totales de la empresa, Yi.

El siguiente paso sería minimizar la función Φ con el fin de obtener las expresiones de A y B, en función de los valores de Xi e Yi. Para ello, y por tratarse de una función de dos variables, deberíamos derivar parcialmente respecto de cada una de ellas e igualar las derivadas parciales obtenidas a cero, con lo que obtendríamos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, A y B, que, resolviéndolo, nos daría las expresiones de A y de B, que a continuación se exponen:

$$ {A=\cfrac[l]{\frac{{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}X_{i}}Y_{i}}{n}-\bar{X}\bar{Y}}{\frac{{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}}}{n}-\bar{X}^{2}}}$$

$$ B=\overline{Y}-A\overline{X}$$

Simplemente, será cuestión de aplicar las expresiones halladas de A y B para obtener respectivamente el coste variable unitario y los costes fijos, conociendo para diversos valores del volumen de producción, Xi, los respectivos costes totales, Yi, que posee la empresa.

Por último, recordemos la relación entre las expresiones de los costes totales de la empresa, y la aproximación realizada con nuestra curva de ajuste:

PLANTEAMIENTO

De una empresa se obtienen los siguientes datos en cuanto a volúmenes de producción y costes totales:

Q (uds.)	C (en millones de euros)
10	25
40	40
80	60
100	70

SE PIDE

Calcular los costes fijos de la empresa, así como el coste variable unitario y los costes variables totales para cada uno de los volúmenes de producción. Además, calcular los costes totales de la empresa para un volumen de producción de 50 unidades.

SOLUCIÓN

Para encontrar el valor de los costes fijos y el del coste variable unitario, utilizaremos la aproximación por mínimos cuadrados expuesta:

$$Y'_{i}
=A X_{i}
+B $$

$$ {A=\cfrac[l]{\frac{{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}X_{i}}Y_{i}}{n}-\bar{X}\bar{Y}}{\frac{{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}}}{n}-\bar{X}^{2}}}$$

$$ B=\overline{Y}-A\overline{X}$$

Con la interpretación de que "B" representa los costes fijos, "A" el coste variable unitario, "X" el volumen de producción, "Y'" el valor aproximado de los costes totales e "Y" el valor real de éstos.

Para facilitar el cálculo, es conveniente montar la siguiente tabla:

	Xi(q)	Yi(C)	Xi Yi	$$X_{i}^{2}$$
	10	25	250	100
	40	40	1.600	1.600
	80	60	4.800	6.400
	100	70	7.000	10.000
$$\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}} $$	230	195	13.650	18.100

$$\overline{X}\overset{4}{=\frac{{\underset{i=1}{\sum X_{i}}}}{4}}=\frac{230}{4} =57,5$$

$$\overline{Y}\overset{4}{=\frac{{\underset{i=1}{\sum Y_{i}}}}{4}}=\frac{195}{4} =48,75$$

$$A=\frac{\frac{13.650}{4}-57,5 \bullet 48,75}{\frac{18.100}{4}-(57,5)^{2}} =\frac{3.412,5-2.803,125}{4.525-3.306,25} =\frac{609,375}{1.218,75} =0,5$$

Lo cual nos indica que el coste variable unitario, CVu, es de 0,5 millones de euros por unidad, puesto que las cifras de costes totales vienen dadas en millones de euros. Es decir, de 500.000 euros por unidad producida. Los costes fijos los hallaremos con la expresión:

$$ B=\overline{Y}-A\overline{X}= 48,75 - 0,5 . 57,5 = 20$$

Por lo tanto, los costes fijos, CF, de la empresa serán de 20 millones de euros, por estar dadas las cifras de costes totales en estas unidades.

Por último, para hallar los costes variables totales de la empresa para cada volumen de producción, no hay más que aplicar la expresión:

Lógicamente, las cifras de los costes variables totales vendrán dadas en millones de euros.

Los costes totales para un volumen de producción de 50 unidades serán:

C = 0,5 x 50 + 20 = 25 + 20 = 45 (millones de euros)

Es evidente que, en este momento, estamos en disposición de poder calcular los costes totales de la empresa para cualquier volumen de producción.

2.04.02 MÉTODO DE LOS VALORES EXTREMOS

Este método es mucho más sencillo que el expuesto en el apartado anterior, y también se basa en obtener la ecuación de una recta para aproximar los costes de la empresa. La sencillez de este método reside en que, para hallar la ecuación de la recta, únicamente se toman los valores menor y mayor del volumen de producción con sus respectivos valores de los costes totales asociados, determinando así la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos.

De igual modo que en el apartado anterior, la pendiente de la recta representa el coste variable unitario, y el punto de corte de ésta con el eje de ordenadas, los costes fijos de la empresa.

Lógicamente, la aproximación que ofrece este método es mucho menor que la hallada por el método de los mínimos cuadrados.

Veamos el caso práctico del apartado anterior resuelto por el método de los valores extremos.

2.04.03 CASO PRÁCTICO

Resolver el caso práctico del apartado anterior por el método de los valores extremos.

Solución

Recordemos que los valores extremos para el volumen de producción y los costes totales asociados a éstos eran:

La ecuación de una recta que pasa por dos puntos (X₁;Y₁);(X₂;Y₂) viene dada por:

$$Y-Y_{1} =\frac{Y_{2}-Y_{1}}{X_{2}-X_{1}} (X-X_{1} )$$

que aplicada a nuestro caso será: $$Y-25=\frac{70-25}{100-10} (X-10)$$

Realizando operaciones: $$Y-25=\frac{45}{90} (X-10)=0,5(X-10)=0,5X-5;$$

$$ Y=0,5X-5+25=0,5X+20$$

$$Y=0,5X+20$$

De donde el coste variable unitario será de 0,5 millones de euros y los costes fijos de 20 millones de euros. Los costes variables totales se hallarían del mismo modo que en el caso práctico anterior.